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Wie Computer hinzufügen - Ein logischer Ansatz



Wir haben uns das letzte Mal Zahlensysteme und Zählen angesehen (siehe Es ist eine binäre Welt - Wie Computer zählen). Zur schnellen Auffrischung haben wir gesehen, dass Computer aus vielen Einheiten von 0 und 1, dem Binärsystem, bestehen. 1 ist die höchstmögliche Ziffer, sodass Zahlen im Computer wie beispielsweise 1010 oder 10 dezimal gespeichert werden. Wir haben auch gesehen, dass diese Binärzahlen als Oktal- (8) oder Hexadezimalzahlen (16) gesehen werden können - in diesem Fall wird 1010 zu 15 Oktal oder A hex.

Sie erkennen wahrscheinlich, dass der 'Standard'-PC-Code in 8-Bit-Bytes vorliegt, was das Hex-System eine Stufe weiter bringt. Möglicherweise wissen Sie auch, dass Prozessoren und die darauf ausgeführte Windows-Software von 8 Bit auf 16 Bit auf 32 Bit auf 64 Bit fortgeschritten sind. Grundsätzlich bedeutet dies, dass der Computer gleichzeitig mit 1,2, 4 oder 8 Bytes arbeiten kann. Mach dir keine Sorgen, wenn dies alles Gobbledegook ist, du brauchst es nicht, um zu verstehen, wie Computer hinzufügen!

OK jetzt zur Math - Cringe Time! Es ist etwas komplizierter als beim letzten Mal, aber wenn Sie logisch wie ein Computer denken und feststellen, dass sie wirklich dumm sind, werden Sie durch sie segeln!

Wir machen hier eine Pause, um ein bisschen Mathematik zu betrachten, von der Sie vielleicht noch nichts gehört haben - Boolesche Algebra. Es ist wieder einmal ganz einfach, aber es zeigt Ihnen, wie ein Computer funktioniert und warum er so pedantisch ist!

Die Boolesche Algebra ist nach George Boole benannt, einem englischen Mathematiker im 19. Jahrhundert. Er entwickelte das Logiksystem, das in digitalen Computern mehr als ein Jahrhundert vor der Verwendung eines Computers verwendet wurde!

In der Booleschen Algebra verwenden wir anstelle von + und - usw. UND und ODER, um unsere logischen Schritte zu bilden.
Zum Beispiel:-

x ODER y = z bedeutet, wenn x oder y vorhanden sind, erhalten wir z.
Jedoch,
x UND y = z bedeutet, dass sowohl x als auch y vorhanden sein müssen, um z zu erhalten.
Wir können auch ein XOR (eXclusive OR) in Betracht ziehen.
x XOR y = z bedeutet, dass x oder y, ABER NICHT BEIDE vorhanden sein müssen, um z zu erhalten.

Das ist es! Das ist alles, was Sie brauchen, um zu verstehen, wie ein Computer zählt. Ich habe dir gesagt, dass es einfach ist!

Wie verwenden wir diese Logik im Computer? Wir bilden eine kleine elektronische Schaltung namens Gate mit Transistoren und Dingen, damit wir an unseren in einem Register gespeicherten Binärzahlen arbeiten können - nur ein bisschen Speicher. (Und das ist die letzte Elektronik, von der Sie hören werden!). Wir machen ein UND-Gatter, ein ODER-Gatter und ein XOR-Gatter

Wenn wir dezimal addieren, zum Beispiel 9 + 3, erhalten wir 2 'Einheiten' und tragen eine zu den 10en, was 10 + 2 = 12 ergibt

Erinnern Sie sich an die binären Bitwerte in Dezimal 1,2,4,8 usw.? Wir beginnen bei 0 und dann bei 1 in der ersten Bitposition, dem 1-Bit. Wenn wir 1 + 1 Binär hinzufügen, müssen wir mit 10 enden, die ein 1-Bit an der zweiten Bitposition und eine 0 an der ersten hat, was Dezimal 2 + 0 = 2 ergibt. Diese zweite Bitposition wird durch einen CARRY aus dem ersten Bit gebildet.

Um einen Addierer zu erstellen, müssen wir die Art und Weise, wie wir sie binär hinzufügen, mit einer Logikschaltung duplizieren. Um 1 + 1 zu addieren, benötigen wir 3 Eingänge, einen für jedes Bit und einen Übertrag, und 2 Ausgänge, einen für das Ergebnis (1 oder 0) und einen Übertrag (1 oder 0). In diesem Fall wird der Übertragseingang nicht verwendet. Wir verwenden 2 XOR-Gatter, 2 UND-Gatter und ein ODER-Gatter, um den Addierer für 1 Bit zu bilden.

Jetzt gehen wir einen weiteren Schritt und vergessen die Tore, denn jetzt haben wir einen Logikblock, einen ADDER. Unser Computer besteht aus verschiedenen Kombinationen von Logikblöcken. Neben dem Addierer haben wir möglicherweise einen Multiplikator (eine Reihe von Addierern) und andere Komponenten.

Unser ADDER-Block nimmt ein Bit (0 oder 1) von jeder hinzuzufügenden Zahl plus das Übertragsbit (0 oder 1) und erzeugt eine Ausgabe von 0 oder 1 und einen Übertrag von 0 oder 1. Eine Tabelle der Eingabe A. , B und Carry und Ausgabe O und Carry sehen folgendermaßen aus:

Ohne Carry in:

A B c O C.
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 1 0 0 1

Mit Carry in:

A B c O C.
0 0 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 1 1 1 1

Dies ist als Wahrheitstabelle bekannt und zeigt den Ausgangszustand für jeden gegebenen Eingangszustand.

Fügen wir 2 + 3 Dezimalstellen hinzu. Das ist 010 plus 011 binär. Wir benötigen 3 ADDER-Blöcke für Dezimalbitwerte von 1, 2 und 4)

Der erste ADDER nimmt von jeder Zahl das am wenigsten signifikante Bit (Dezimalbitwert 1). Eingang A ist 0, Eingang B ist 1 ohne Übertrag - 0.

Aus der Wahrheitstabelle ergibt sich eine Ausgabe von 1 und ein Übertrag von 0 (3. Zeile). BIT 1 ERGEBNIS = 1

Gleichzeitig hat der nächste ADDER (Dezimalbitwert 2) Eingänge von 1, 1 und einen Übertrag von 0, was einen Ausgang von 0 mit einem Übertragsbit von 1 ergibt (4. Zeile). BIT 2 ERGEBNIS = 0

Der nächste ADDER (Dezimalbitwert 4) hat Eingänge von 0, 0 und einen Übertrag von 1, was einen Ausgang von 1 ohne Übertrag-0 ergibt (5. Zeile). BIT 4 ERGEBNIS = 1.

Wir haben also die Bits 4,2,1 als 101 oder 4 + 1 = 5.

Es scheint eine mühsame Methode zu sein, aber unser Computer kann 64 Addierer oder mehr haben und gleichzeitig zwei große Zahlen milliardenfach pro Sekunde hinzufügen. Hier punktet der Computer.

Das nächste Mal werden wir erfahren, wie ein Computer kompliziertere Operationen ausführt, und das ist ganz einfach!

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